基本操作

1.与运算（AND）：0 AND 0 = 0  （全为1才得1）

                    1 AND 0 = 0

                    0 AND 1 = 0

                    1 AND 1 = 1

   用途：用来位置0，若想把FFH（11111111B,255D）第三、五（从右往左）位置0，只需 AND 11101011B(235D,E8H).

   2.或运算（OR）： 0 OR 0 = 0  （只要有一个1就得1）

                    1 OR 0 = 1

                    0 OR 1 = 1

                    1 OR 1 = 1

   用途：用来位置1，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（从右往左）位置1，只需 

OR 00001110B(14D,EH).

   3.取反运算（NOT）: NOT 1 = 0

                      NOT 0 = 1

   用途：用来整体取反，不能位取反。 

   4. 异或运算（XOR）： 0 XOR 0 = 0  (不同为1，相同为0)

                        1 XOR 0 = 1

                        0 XOR 1 = 1

                        1 XOR 1 = 0

   用途：用来位取反，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（从右往左）位取反，只需 

XOR 00001110B(14D,EH).

   附：异或的特殊性：

   若 A XOR B = C,则 A XOR C = B,B XOR C = A.

      扩展成 A XOR B XOR C = D,结论同样成立//PS：我还没证明

位运算是指按二进制进行的运算。在系统软件中，常常需要处理二进制位的问题。C语言提供了6个位操作

运算符。这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的char,short,int与long类型。

C语言提供的位运算符列表：

运算符 含义 描述

&  按位与 如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0

| 按位或 两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1

^ 按位异或 若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1

~ 取反 ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0

<<  左移 用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0

>>  右移 将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0

1、“按位与”运算符（&）

    按位与是指：参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。如果两个相应的二进制位都为１，

则该位的结果值为1；否则为0。这里的1可以理解为逻辑中的true,0可以理解为逻辑中的false。按位与其

实与逻辑上“与”的运算规则一致。逻辑上的“与”，要求运算数全真，结果才为真。若，

A=true,B=true,则A∩B=true 例如：3&5 3的二进制编码是11(2)。（为了区分十进制和其他进制，本文规

定，凡是非十进制的数据均在数据后面加上括号，括号中注明其进制，二进制则标记为2）内存储存数据

的基本单位是字节（Byte），一个字节由8个位（bit)所组成。位是用以描述电脑数据量的最小单位。二

进制系统中，每个0或1就是一个位。将11（2）补足成一个字节，则是00000011（2）。5的二进制编码是

101（2），将其补足成一个字节，则是00000101（2）

按位与运算：

 00000011(2)

& 00000101(2)

 00000001(2)

由此可知3&5=1

c语言代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=3;

 int b = 5;

 printf("%d",a&b);

}

按位与的用途：

（1）清零

若想对一个存储单元清零，即使其全部二进制位为0，只要找一个二进制数，其中各个位符合一下条件：

原来的数中为1的位，新数中相应位为0。然后使二者进行&运算，即可达到清零目的。

例：原数为43，即00101011（2），另找一个数，设它为148，即10010100（2），将两者按位与运算：

 00101011（2）

& 10010100（2）

 00000000（2）

c语言源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=43;

 int b = 148;

 printf("%d",a&b);

}

（2）取一个数中某些指定位

若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节，只需要将a与8个1按位与即可。

a 00101100 10101100

b 00000000 11111111

c 00000000 10101100

（3）保留指定位：

与一个数进行“按位与”运算，此数在该位取1.

例如：有一数84，即01010100（2），想把其中从左边算起的第3，4，5，7，8位保留下来，运算如下：

 01010100(2)

& 00111011(2)

 00010000(2)

即：a=84,b=59

    c=a&b=16

c语言源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=84;

 int b = 59;

 printf("%d",a&b);

}

2、“按位或”运算符（|）

两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1。借用逻辑学中或运算的话来说就是，一真为真

。

例如：60（8）|17（8）,将八进制60与八进制17进行按位或运算。

 00110000

|00001111

 00111111 

c语言源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=060;

 int b = 017;

 printf("%d",a|b);

}

应用：按位或运算常用来对一个数据的某些位定值为1。例如：如果想使一个数a的低4位改为1，则只需要

将a与17（8）进行按位或运算即可。

3、“异或”运算符（^）

他的规则是：若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1

即0∧0=0，0∧1=1，1∧0=1， 1∧1=0

    例：   00111001

        ∧ 00101010

           00010011 

c语言源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=071;

 int b = 052;

 printf("%d",a^b);

}

应用：

（1）使特定位翻转

设有数01111010（2），想使其低4位翻转，即1变0，0变1.可以将其与00001111（2）进行“异或”运算，

即：

 01111010

^00001111

 01110101

运算结果的低４位正好是原数低４位的翻转。可见，要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为１

即可。

(２)与0相“异或”，保留原值

例如：012^00=012

        00001010

       ^00000000

        00001010

因为原数中的1与0进行异或运算得1，0^0得0，故保留原数。

(３) 交换两个值，不用临时变量

例如：ａ＝３，即11（2）；ｂ＝４，即100（2）。

想将ａ和ｂ的值互换，可以用以下赋值语句实现：

    ａ＝a∧b;

    ｂ＝b∧a;

    ａ＝a∧b;

ａ＝011(2)

    （∧）ｂ＝100(2)

ａ＝111(2)（a∧b的结果，a已变成７）

    （∧）ｂ＝100(2)

ｂ＝011(2)（b∧a的结果，b已变成３）

    （∧）ａ＝111(2)

ａ＝100（2）（a∧b的结果，a已变成４）

等效于以下两步：

    ① 执行前两个赋值语句：“ａ＝ａ∧ｂ；”和“ｂ＝ｂ∧ａ；”相当于b=b∧(a∧b)。

    ② 再执行第三个赋值语句： ａ＝ａ∧ｂ。由于a的值等于（ａ∧ｂ），b的值等于（ｂ∧ａ∧ｂ），

因此，相当于a=ａ∧ｂ∧ｂ∧ａ∧ｂ，即a的值等于ａ∧ａ∧ｂ∧ｂ∧ｂ，等于ｂ。

很神奇吧！

c语言源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=3;

 int b = 4;

 a=a^b;

 b=b^a;

 a=a^b;

 printf("a=%d b=%d",a,b);

}

4、“取反”运算符（~）

他是一元运算符，用于求整数的二进制反码，即分别将操作数各二进制位上的1变为0，0变为1。

例如：~77(8)

源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=077;

 printf("%d",~a);

}

5、左移运算符（<<）

左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负

值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。

例如：将a的二进制数左移2位，右边空出的位补0，左边溢出的位舍弃。若a=15,即00001111（2），左移2

位得00111100（2）。

源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=15;

 printf("%d",a<<2);

}

左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。但此结论只适用于该

数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。

    假设以一个字节（８位）存一个整数，若ａ为无符号整型变量，则ａ＝64时，左移一位时溢出的是0

，而左移2位时，溢出的高位中包含1。

6、右移运算符（>>）

右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负

值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分

用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。注

意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移

入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的

系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。 

例： a的值是八进制数113755： 

   a:1001011111101101 （用二进制形式表示）

   a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)

   a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)

   在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C

编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。

源代码：

#include <stdio.h>

main()

{

 int a=0113755;

 printf("%d",a>>1);

}

7、位运算赋值运算符

位运算符与赋值运算符可以组成复合赋值运算符。

   例如: &=, |=, >>=, <<=, ∧=

   例：  a & = b相当于 a = a & b

         a << =2相当于a = a << 2

 

位运算加速技巧

1. 如果乘上一个2的倍数数值，可以改用左移运算(Left Shift) 加速 300%

x = x * 2;

x = x * 64;

//改为:

x = x << 1; // 2 = 21

x = x << 6; // 64 = 26

2. 如果除上一个 2 的倍数数值，可以改用右移运算加速 350%

x = x / 2;

x = x / 64;

//改为:

x = x >> 1;// 2 = 21

x = x >> 6;// 64 = 26

3. 数值转整数加速 10%

x = int(1.232)

//改为:

x = 1.232 >> 0;

4. 交换两个数值(swap)，使用 XOR 可以加速20%

var t:int = a;

a = b;

b = t;

//equals:

a = a^b;

b = a^b;

a = a^b;

5. 正负号转换，可以加入 300%

i = -i;

//改为

i = ~i + 1; // NOT 写法

//或

i = (i ^ -1) + 1; // XOR 写法

6. 取余数，如果除数为 2 的倍数，可利用 AND 运算加速 600%

x = 131 % 4;

//equals:

x = 131 & (4 - 1);

7. 利用 AND 运算检查整数是否为 2 的倍数，可以加速 600%

isEven = (i % 2) == 0;

//equals:

isEven = (i & 1) == 0;

8. 加速 Math.abs 600% 的写法1，写法2 又比写法1加速 20%

//写法1

i = x < 0 ? -x : x;

//写法2

i = (x ^ (x >> 31)) - (x >> 31);

//写法3

i=x^(~(x>>31)+1)+(x>>31);

9. 比较两数值相乘之后是否拥有相同的符号，加速 35%

eqSign = a * b > 0;

//equals:

eqSign = a ^ b > 0;

这里5、6、8、9自己都想不出来咋证明。//先放在这里

给集合里的元素一个顺序，那么就可以用整数表示集合，某一位为1表示对应元素被选取。

        设x为表示集合的整数，那么这个整数有如下性质：

         x的子集整数y在数值上不会比x大。因为x的子集y只是保留了x某些位置上的1，所以y总可以加上一个非负的整数z等于x，相当于把没选的1补上。

         根据这个性质可知，可以通过枚举所有比x小的数p并判断，p是否只含x对应位上的1，如果是则p是x的子集，否则不是。这样时间复杂度是严格的x。有没有更快的呢，有的。

上诉枚举p是通过减一操作，并且我们知道减一操作一定是正确的，那么在枚举的时候如何快速的去掉多余的状态，答案就是和x进行&（与）运算。与运算可以快速跳到下一个子

集。

         &运算本质就是保留p在x对应位为1的数值，而根据二进制减法可知减一操作都是把p最低位的1消去，在那一位后全补上1，如果在x对应位为0的地方产生了1其实是无效的，

后续的减一操作也会把它消掉，所以直接&运算可以快速去掉多余的状态。时间复杂度是x的子集数。

 

1. for(int i=x;i;){

2. i=(i-1)&x;

3. }

 

①判断n是否是2的整次幂 link

1. bool fun(int n){

2. return (!(n & (n-1))) && n;

3. }

lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值。

比如，6的二进制是110，所以lowbit(6)=2。

 

1. int lowbit(int x){

2. return x&(-x);

3. }

去除某个数的某一位

 

1. bool get_bit(int t,int x) {

2. // 在 t 中，取出第 x 位 --从零开始

3. return t & (1<<(x));

4. }

改位

 

1. #define set_bit(x,ith,bool) ((bool)?((x)|(1<<(ith))):((x)&(~(1<<(ith)))));

2. //从零开始

3. // 设置 x 的从第 ith 位起连续 k 位 为bol

4. int mset(int x,int ith,int k,int bol)

5. {

6. while(k --)x = set_bit(x,ith+k,bol);

7. return x;

8. }

 

gcc编译器的内建函数，__builtin_popcount(x)

直接统计整数x转换成2进制中有多少1。

bitset

 

什么是bitset

 

bitset 是STL库中的二进制容器，根据C++ reference 的说法，bitset可以看作bool数组，但优化了空间复杂度和时间复杂度，并且可以像整形一样按位与或。

使用方法

申明

bitset的申明要指明长度

1	bitset<length> bi

这样就申明了一个长度为length的名叫bi的bitset

 赋值

bitset重载了[]运算符，故可以像bool数组那样赋值

bi[2] = 1;

这样就能将第二位赋值为1

常用函数

b1 = b2 & b3;//按位与b1 = b2 | b3;//按位或b1 = b2 ^ b3;//按位异或b1 = ~b2;//按位补b1 = b2 << 3;//移位

int one = b1.count();//统计1的个数

优化作用

常常碰到处理的数组只有0和1的变化，此时就可以使用bitset优化。比如求两个集合的交集可以使用按位与运算，求并集可以使用按位或运算

常用的成员函数：

b.any() b中是否存在置为1的二进制位？

b.none() b中不存在置为1的二进制位吗？

b.count() b中置为1的二进制位的个数

b.size() b中二进制位数的个数

b[pos] 访问b中在pos处二进制位

b.test(pos) b中在pos处的二进制位置为1么？

b.set() 把b中所有二进制位都置为1

b.set(pos) 把b中在pos处的二进制位置为1

b.reset( ) 把b中所有二进制位都置为0

b.reset( pos ) 把b中在pos处的二进制位置置为0

b.flip( ) 把b中所有二进制位逐位取反

b.flip( pos ) 把b中在pos处的二进制位取反

b.to_ulong( ) 把b中同样的二进制位返回一个unsigned

//to_ulong()没有看懂，目前到此为止，需要先学习别的内容，这里放下等待看和学习的博客